· Meccanica delle Strutture

· Strutture in Calcestruzzo Armato

· INTRODUZIONE ALL’ANALSI NON LINEARE AGLI STATI LIMITE

· Marco Bozza

· INTRODUZIONE

· METODI DI ANALISI

· DIAGRAMMA MOMENTI-ROTAZIONI (M-q)

· METODI DI CALCOLO

INTRODUZIONE

Il comportamento non lineare delle strutture in calcestruzzo armato è oggetto di studio di ricerca, con lo scopo di predisporre dei modelli analitici affidabili e semplici da poter essere facilmente impiegati nella progettazione strutturale. La non linearità del calcestruzzo armato è dovuta a vari fenomeni, quali la fessurazione del calcestruzzo in trazione, lo snervamento delle barre di armatura, la non linearità dei legami costitutivi di acciaio e calcestruzzo, ecc. Questi fenomeni locali sono stati studiati in dettaglio singolarmente con estese indagini sperimentali che hanno consentito modellazioni più o meno accurate dei fenomeni stessi. Tali modellazioni fenomenologiche hanno portato ad una buona conoscenza dell'effettivo comportamento sezionale degli elementi monodimensionali in calcestruzzo armato non soltanto fra i ricercatori, ma anche fra i progettisti. Infatti le normative di molti Paesi da diversi anni prescrivono verifiche di resistenza delle sezioni che tengono conto del comportamento non lineare dei materiali. Inoltre, la conoscenza approfondita dei fenomeni locali di comportamento degli elementi in calcestruzzo armato ha permesso lo sviluppo di procedure automatiche di simulazione numerica. Con tali procedure è possibile fare degli studi parametrici su un elevato numero di campioni in tempi e costi di gran lunga inferiori rispetto alla sperimentazione. Queste procedure automatiche di analisi strutturale, però, richiedono tempi di calcolo assai elevati per cui risultano improponibili per la progettazione, se non nel caso di strutture di notevole importanza.

METODI DI ANALISI

Nelle varie Normative (Eurocodice 2, CEB-Model Code, ecc) vengono prescritti per lo studio delle strutture in cemento armato i seguenti tipi di analisi:

- analisi elastica lineare con o senza ridristribuzione

- analisi non lineare

- analisi plastica

Analisi elastica lineare con o senza ridistribuzione

Questo tipo di analisi assume un comportamento indefinitamente elastico per i materiali e considera le sezioni non fessurate. In realtà le strutture in calcestruzzo armato sono normalmente fessurate in esercizio in prossimità delle sezioni maggiormente sollecitate (sezioni critiche) e ciò causa sensibili ridistrìbuzioni di sforzi tra le parti più rigide (non fessurate) e le parti meno rigide (fessurate). La risposta della struttura può quindi discostarsi sensibilmente da un andamento lineare. E' chiaro allora che la soluzione ottenuta con l'analisi elastica lineare è equilibrata ma non congruente, per cui il raggiungimento del carico ultimo, associato alla massima capacità portante delle sezioni critiche, può essere raggiunto solo se le sezioni stesse possiedono una sufficiente duttilità (capacità di rotazione plastica).

Analisi non lineare

L'analisi non lineare prevede l'utilizzo di legami costitutivi più o meno accurati, e consente di ricavare il carico di collasso della struttura tenendo conto dei limiti alle deformazioni anelastiche. Come detto, questo tipo di analisi può essere eseguito solo con il calcolo automatico, e comunque comporta oneri computazionali troppo elevati per la progettazione corrente.

Analisi plastica

Per quanto riguarda l'analisi plastica si fa riferimento all'ANALISI LIMITE sviluppata negli Anni '50 per le strutture a comportamento elastico-plastico (es. acciaio). Si ipotizza la formazione di cerniere plastiche nelle sezioni critiche con raggiungimento della capacità portante ultima quando la struttura si trasforma in un meccanismo. Le sezioni in calcestruzzo armato, però, hanno in genere una limitata capacità di rotazione plastica, per cui spesso si raggiunge la rottura di una sezione prima che la struttura si trasformi in un meccanismo. Dalla metà degli Anni '50 fino ai primi Anni '70 sono stati condotti numerosi studi teorici e sperimentali, mirati alla valutazione della capacità di rotazione plastica delle sezioni in calcestruzzo armato. Inoltre, negli ultimi 30 anni sono state sviluppate procedure numeriche di calcolo automatico che utilizzano legami costitutivi accurati per i materiali e che considerano i contributi di fenomeni locali quali il tension stiffening, l'aderenza, la resistenza, a trazione del calcestruzzo, ecc. Questi programmi hanno consentito l'esecuzione di ampie sperimentazioni numeriche volte alla determinazione della capacità di rotazione plastica delle sezioni.

DIAGRAMMA MOMENTI-ROTAZIONI (M-q)

Nelle aste inflesse in calcestruzzo armato le deformazioni non elastiche interessano una vasta zona attorno al momento massimo, e precisamente i tratti con momento superiore al momento di prima fessurazione M_cr (Figura 1 (a)). Infatti il diagramma momenti-curvature M-j delle sezioni evidenzia tre stadi a diverso comportamento: primo stadio con sezione interamente reagente, secondo stadio fessurato e terzo stadio con snervamento dell'acciaio (Figura 1 (b)). Integrando le curvature fra due punti a momento nullo è possibile ricavare il diagramma momenti-rotazioni M-q relativo al tratto considerato (Figura 1 (c)). La maggior parte di tale rotazione è concentrata attorno alla sezione di momento massimo, per cui si può, per semplicità, anche in questo caso fare riferimento ad una cerniera plastica concentrata nella sezione maggiormente sollecitata con comportamento descritto dal legame momento-rotazione M-q di cui sopra.

La rotazione ultima q_u dipende dalla duttilità che può manifestarsi, ed è funzione essenzialmente della percentuale di armatura e dello sforzo assiale presente. Per elevate percentuali di armatura, o per grandi sforzi normali, le sezioni raggiungono la rottura per schiacciamento del calcestruzzo (e_c > e_cu), mentre l'acciaio non riesce a sviluppare grandi allungamenti plastici, per cui i soli contributi alla rotazione non elastica sono dovuti alla fessurazione ed al legame costitutivo del calcestruzzo.

Figura 1

Per procedere all'analisi strutturale è quindi necessario conoscere i diagrammi momenti-curvature M-j delle varie sezioni, dai quali poter calcolare i legami momenti-rotazioni M-q delle sezioni critiche. I diagrammi M-j possono essere determinati per punti facendo riferimento ai legami costitutivi dei materiali (acciaio e calcestruzzo) e dell'aderenza (tension stiffening). Più precisamente, si discretizza la sezione e si scrivono le equazioni di equilibrio alla traslazione orizzontale e alla rotazione come sommatoria dei contributi di ogni singola striscia di sezione. Per ogni valore fissato della curvatura j si varia la dilatazione all'asse e₀, finché la risultante degli sforzi sulla sezione non risulta in equilibrio con l'azione assiale. Dalla coppia di valori j-e₀ è quindi possibile calcolare il valore del momento M. Ovviamente la procedura si arresta quando la e supera la contrazione ultima nel calcestruzzo e_cu o la dilatazione massima nell'acciaio e_su.

METODI DI CALCOLO

Generalmente nelle strutture iperstatiche , incrementando il carico di esercizio si viene a formare una prima cerniera plastica nella sezione maggiormente sollecitata, e quindi, ad ogni ulteriore aumento del carico, si vengono a formare altre cerniere plastiche finché la struttura non si trasforma in un meccanismo. Questa non simultanea formazione delle cerniere plastiche comporta rotazioni plastiche rilevanti nelle cerniere che si sono formate per prime, per consentire la ridistribuzione dei momenti fra le sezioni critiche. Le sezioni in calcestruzzo armato, a differenza di quelle in acciaio, consentono rotazioni plastiche limitate, per cui nell'analisi limite delle strutture in calcestruzzo armato non si può prescindere da questo aspetto.